.RU

Вопрос Волновое уравнение Уравнение любой волны явл решением диф ур-я,наз-его волновым


Вопрос 3. Волновое уравнение

Уравнение любой волны явл решением диф ур-я,наз-его волновым. Волна явл гармонической волной. Получим дифференциальное уравнение в частных производных, связывающие изменения функций, характеризующих волну во времени и в пространстве. Обозначим фазу волны φ=t-x/v и продифференцируем выражение (18)

,  (20) .     (20.1) Подставив выражение (20) в выражение (20.1) получим .    (21) Это уравнение является простейшим волновым уравнением. Для волн в отрицательном направлении в ур-и (21) знак  - должен быть заменён +. Производная  - это проекция скорости частицы среды, движущейся около своего положения равновесия. Производная -относительная деформация среды.   Относительная деформация величина алгебраическая, она может быть как больше, так и меньше нуля. Можно получить уравнение, справедливое для волны любого направления, а также для суперпозиции волн. Для этого продифференцируем выражения (20) и (20.1) ещё раз по t и по х соответственно:  , .    (22) Подставив первое уравнение во второе, получим: .  (23) Этому уравнению удовлетворяет общее решение вида:

   Замечания.

1.Волновые уравнения (21) и (23) справедливы для однородных изотропных сред с малым затуханием.

2.Обобщением на трёхмерный случай является уравнение вида (23.1) Это уравнение дает решение в виде сферических или цилиндр волн.

----------------------------------------------------------------

 Вопрос4. Скорость упругой волны в твёрдой среде

Пусть в направлении оси х распространяется плоская продольная волна. Выделим в среде цилиндрический объём с площадью основания S и высотой ∆х (Рис.1).

Смещения частиц ξ с разными х в каждый момент времени оказывается различными (Рис.2). Если основание цилиндра с координатой  х  имеет в некоторый момент времени смещение ξ, то смещение основания с координатой х+∆х будет ξ+∆ξ. Поэтому рассматриваемый объём деформируется – он получает удлинение  ∆ξ или относительное удлинение ∆ξ/∆х. Величина  ∆ξ/∆х дает среднюю деформацию цилиндра. Вследствие того, что ξ меняется  не по линейному закону, истинная деформация в разных точках сечения цилиндра будет неодинаковой. Что бы получить относительную деформацию ε в сечении х, ∆х0.    . (1)Наличие деформации растяжения свидетельствует о существовании норм напряжения σ, при малых деформациях пропорц величине деформации      (2) (Е- модуль Юнга среды). относительная деформация ε, а следовательно, и напряжение σ в фиксированный момент времени зависят от х (Рис.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают мax. уравнение движения для цилиндрического объёма на рис.1. Ускорение вдоль оси х равно . Масса цилиндра равна ρS∆x, где ρ-плотность недеформированной среды. Рассмотрим малый элемент стержня  (λ-длина волны), когда он оказался в растянутом  состоянии. Применим к этому элементу 2 закон Ньютона:         (3)

После сокращения уравнение примет вид:     ,или          .   (4) Мы получили волновое уравнение, из которого можно утверждать, что скорость продольной волны будет равна:          . (5)Замечание. Этот закон справедлив только для тонких стержней, так как только в этом случае при малых продольных деформациях справедлив закон Гука. Для случая поперечных упругих волн скорость равна          ,  (5а) G- модуль сдвига среды.

-------------------------------------------------------------

Вопрос1и2. Уравнение плоской и сфер. волны

Найдём вид функции ξ(х,у,z,t) в случае плоской волны, распространяющейся в направлении, образующем с осями координат углы α, β, γ.  Пусть колебания носят гарм характер: . (3) Волн повер-ть ξ0 проходит через нач координат. Возьмём волн повер-ть (плос-ть), отстоящую от нач координат на расстояние l.(если рассматривать плоскую волну распрост вдоль х,то вместо l будет х,тогдаdx\dt=v-фазовая скорость ) Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний  ξ0 на время τ=l/v :          (4)Введём величину, называемую волновым числом .(5) Умножив на частоту v,то k=w/v. (5.а)выразим через l радиус–вектор r точек поверхности ξ(r,t). Для этого введём един вектор нормали n к волновой пове-ти. Из рис.4 скалярное произведение n на радиус-вектор r к любой точке поверхности равно l:  .   (6)

Заменим в (4) l через :          Вектор  называется волновым вектором. Тогда(7)Это ура-е плос незатухающей волны, распространяющейся в направлении, определяемом волн  вектором k.Что бы перейти от радиуса-вектора точки к координатам x,y,z, выразим скалярное произ-e kr через компоненты векторов поосям:  (8) где     . (9)

Замечания.

1. Ура-е (7) описывает движение волны в сторону увелич r, если волна идет в противоположном напр-ии, то ур-e: (10)

2.Скорость, стоящая в (4) наз-я фазовой скоростью, тк она определяет перемещение фазы. 

3. ур-я плоской волны:  (11) Знак Re обычно  что берётся только вещест часть выражения. вводят комплексное число (12) - комплексная амплитуда Модуль его дает амплитуду, а аргумент – начальную фазу волны. ура-е волны (13)

^ Уравнение сферической волны

Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяжённостью. Однако если ограничиться рассмотрением волн на расстояниях значительно превышающих размеры источника, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Амплитуда колебаний в этом случае, даже если нет поглощения средой энергии волны, убывает с расстоянием как 1/r. Ур-ие сферической волны . (14)

^ Случай поглощающей среды

Опыт показывает, что в однородной среде затухание происходит по экспоненциальному закону:, =>, уравнение для плоской волны:. (15)Для сфер волны с учетом поглощения среды: . (16)

----------------------------------------------------------------------

^ Вопрос 7. Колебания струны

 когда в среде распространяются одноврем несколько волн, то колебания частиц среды оказываются просто геометр суммой  колебаний от отдельных волн.  волны накладываются друг на друга, не возмущая одна другую. Это называется  принципом суперпозиции.

Если колебания, обусловленные  отдельными волнами в каждой точке среды, обладают пост разностью фаз, то волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает интерференция: в одних точках колебания усиливают, а в других ослабляют друг друга. случай интерференции – сложение двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. колебательный процесс называется стоячей волной.  Пусть 2 волны распространяются вдоль оси х навстречу друг другу:   Сложив эти уравнения, получим:   . (6) Это уравнение стоячей волны. Что бы упростит его выберем начало отсчёта х так, чтобы разность фаз стала равной 0, а начало отсчёта времени t – так, чтобы оказалась равной 0 сумма . А также заменим волновое число k его значением 2π/λ. Тогда имеем .  (7) Из уравнения (7) видно, что в стоячей волне колебания происходят с той же частотой, что и у исходных встречных волн, а амплитуда зависит от х: (8) В точках, корд-ты кот удовл усл  (9) амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Отсюда получаются значения координат пучностей:         .  (10) В точках, координаты которых удовлетворяют условию    амплитуда обращается в 0. Эти точки называются узлами стоячей волны.Координаты узлов имеют значения          .  (11) Точки среды находящиеся в узлах колебаний не совершают. Расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно половине длины волны.  Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на . Точки, лежащие по разные стороны от узла колеблются в противофазе. !!!В закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причём в местах закрепления струны должны располагаться узлы.  Поэтому в струне возбуждаются только такие колебания, половина длины которых укладывается на струне целое число раз. Отсюда вытекает условие

                 или           (13) (l – длина струны). Длинам волн соответствуют частоты          . (14) Они называются собственными частотами струны. Собственные частоты являются кратными частоте          , которая называется основной частотой. Остальные колебания с частотами n=2,3.. называются гармониками. В общем случае колебание струны представляет собой наложение различных гармоник.

----------------------------------------------------------------

Вопрос 6. Энергия упругой волны

         Пусть в некоторой  среде распространяется продольная волна    . (7.а) Выделим в среде элементарный объём ∆V, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объёма можно было считать одинаковыми и равными соответственно ∂ξ/∂t и ∂ξ/∂x.  Выделенный объём обладает кинетической энергией ,   (24) и потенциальной энергией         ,  (24) где Е=ρv2 – модуль Юнга, v –фазовая скорость волны (эта формула будет выведена в следующей лекции).Полная энергия. Разделим эту энергию на объём, в котором она содержится, получим плотность энергии          .  (25) Подставим в это выражение уравнение волны (7.а) и приняв во внимание, что  получим: (26) В случае поперечной волны для плотности энергии получается такое же выражение.         Из выражения (26) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в различных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квадрата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно ½. Соответственно среднее по времени  значение плотности энергии в каждой точке среды равно  . (27)

Замечание. Подобная зависимость имеет место и для других видов волн: сферической, цилиндрической, затухающей. Энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной, следовательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной  через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность: . (28)Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится понятие плотности потока энергии:     . (29) Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии через перпендикулярную к переносу площадку. Пусть через площадку  переносится за время ∆t энергия ∆W, заключенная в объёме цилиндра  с основанием  и высотой v∆t. Если размеры цилиндра достаточно малы для того, что бы во всех его точках считать плотность энергии одинаковой, то .    (30)Подставив в (29) получим .  (31) Так как направление переноса энергии совпадает с направлением волны, то можно записать в векторном виде:.  (31.1) Этот вектор плотности потока энергии  называется вектором Умова.    Среднее значение вектора Умова равно: . (32) Это выражение справедливо для волны любого типа.

^ Интенсивность волны-среднее по времени значение плотности потока энергии, переносимой волной.

Полный поток энергии через некоторую поверхность равен: , (33) а его среднее значение .  (33.1) В случае плоской затухающей волны амплитуда убывает по закону

. Соответственно средняя плотность потока энергии убывает по закону . Величина 2γ – называется коэффициентом поглощения волны.


^ Вопрос 5. Скорость звука в газах  

 Звуковая волна в газе представляет собой  распространяющуюся в пространстве последовательность областей сжатия и разрежения газа.  Формулу можно использовать и в этом случае, остаётся лишь выяснить, что играет здесь роль  модуля Юнга Е. Закон Гука в этом случае примет вид    , где знак минус связан с тем, что приращение давления и длины ∆ξ противоположны по знаку. Умножив числитель и знаменатель на площадь поперечного сечения канала вдоль направления распространения волны, получим  (18)   (19) Объём V элемента ∆x и его ρ меняются при прохождении волны, но ρV = const. Продифференцировав это выражение, получи . (20)

Подставим в выражение (19):          , тогда скорость волны примет вид          .   (21) Это выражение справедливо для волн в жидкости и газах.

Опыт показывает, что при распространении звука в газе связь между давлением и объёмом определяется уравнением      ,    (22) где . Возьмём дифференциал натурального логарифма от выражения (22):          ,  откуда   , и формула (19) принимает вид          .  (23) Таким образом, скорость звуковой волны в газе

         .  (24) Из ур-ия ид газа   ,   и ур-ие станет таким:         , (25) где М – молярная масса, R – универсальная газовая постоянная.

----------------------------------------------------------------------

^ Вопрос 9.Волновое уравнение электромаг поля

 Из уравнений Максвелла следует вывод о существовании электромагнитных волн. 

Рассмотрим однородную нейтральную непроводящую среду с проницаемостями ε и µ (т.е. ρ=0, j=0). Уравнения Максвелла будут иметь вид:

(1)Продифференцируем  2ое уравнение по времени и затем используем 1ое ур-е

(2) Здесь при раскрытии двойного векторного произведения мы воспользовались формулой bac - cab, тем что  (1). Аналогичные преобразования можно проделать и для вектора Н. В результате получаем два волновых уравнения, :          .     (3) Если ε=1 и µ=1 ( в вакууме), то коэффициент ε0 µ0 в уравнении есть величина связанная со скоростью распространения  электромагнитной волны:          .   (4) Тогда фазов скорость в среде равна   (5) (6)

---------------------------------------------------------------

Вопрос 8. Эффект Доплера для звуковых волн          

Чел ухо воспринимает зв колебания в диапазоне от 16 до 20000 Гц. Волны с частотой ниже 16 Гц называют инфразвуком, а выше 20000 Гц ультразвуком.Под интенсивностью звука понимают среднее по времени значение плотности потока энергии звуковой волны.

При возрастании интенсивности в геометрической прогрессии громкость возрастает примерно в арифметической прогрессии. На этом основании уровень громкости L (данного I и исходную I0 ):

         .  (15) I0 принимается равной 10-12Вт/м2, тк это соответствует порогу слышимости при частоте 1000Гц. Единица уровня громкости называется белом (Б). пользуются в 10 раз меньшими единицами – децибелами: . (16) Отношение интенсивностей I1 и I2 также можно выразить в децибелах:.  (17)С помощью этой формулы может быть выражено в децибелах уменьшение интенсивности волны на некотором пути.

Если источник, или приёмник звуковых волн движутся относительно среды, то частота сигнала воспринимаемая приёмником оказывается отличной от частоты источника. Это явление называется эффектом Доплера. Рассмотрим случай, когда источник и приёмник движутся относительно среды с постоянными скоростями u и u’ .         Если бы двигался только источник навстречу приёмнику, испуская импульсы с периодом T=1/v , то за это время импульс пройдёт расстояние относительно среды λ=vT=v/v, где v- скорость волн в среде.

Пока будет испущен следующий импульс, источник «нагонит» предыдущий импульс на расстояние uT. Таким образом, расстояние между импульсами в среде станет равным  λ’=vT-uT=(v-u)T. Следовательно, частота воспринимаемая неподвижным источником будет равна v’=v/λ’ , и окончательно          . (28) Если же будет двигаться и приёмник (пусть на встречу источнику), то импульсы относительно приёмника будут иметь скорость v+u’ и число воспринимаемых за единицу времени импульсов будет          .  (29) При движении источника и приёмника в противоположных направлениях знаки перед u и u’ надо поменять на противоположные:          .  (30) Формулу для Эффекта Доплера можно записать в более удобной форме: , (31) где ux’ и ux проекции скоростей приёмника и источника на Х, проходящую через них и положительное напр-ие которой совпадает с напр-ем распространения импульсов.

^ Вопрос 11. Энергия электромагнитной волны

В обычной изотропной среде плотность энергии электромагнитного поля равна сумме плотностей энергий: (16)

Умножив на скорость волны, получим плотность потока энергии:  .  (17) Векторы Е и Н взаимно ортогональны. Направление вектора [EH] совпадает с направлением переноса энергии, поэтому можно определить вектор плотности потока энергии так ,  (18) его надо называть вектором Пойнтинга. Интенсивность I волны =, по определению, ср значению плотности потока энергии : . (19) I пропорционально квадрату амплитуды E.

----------------------------------------------------------------

 Вопрос 14. Импульс электромагнитной волны

Перенос энергии волной сопровождается и переносом импульса. Из теории относительности известно, что импульс объекта с нулевой массой покоя движущегося со скоростью света (фотона):, где W- энергия фотона (электромагнитной волны). Связь для плотности импульса и плотности энергии (величин отнесённых к единице объёма) будет та же самая:  ,   т.к. (v=c)   (20) Если падающая нормально на поверхность волна полностью поглощается, то единице площади поверхности за dt сообщается  импульс, заключённый в цилиндре  с площадью основания, равной единице, и высотой cdt, т.е. .    (21) Но импульс, сообщаемый единице поверхности в единицу времени, равен  давлению p* на поверхность тела . В случае гармонической волны эта величина пульсирует с большой частотой, и практический интерес представляет только её среднее значение по времени:    (22) Рассмотрим  механизм передачи импульса телу, т.е. как возникает давление. Электрическое поле волны возбуждает в теле ток плотности j=σЕ, а магнитное поле волны будет действовать на него по закону Ампера – с силой, объёмная плотность которой равна , отсюда следует, что сила действует в направлении распространения волны.

----------------------------------------------------------------

^ Вопрос 13. Эффект Доплера для электромагн волн

Эффект Доплера для звуковых волн определяется скоростями движения источника и приёмника отн среды. Для электромагнитных волн такой среды нет, поэтому доплеровское смещение частоты опред только скоростью источника отн приёмника.

Пусть в К-системе находится неподвижный приёмник Р.  К нему с релятивистской скоростью приближается источник периодических электромагнитных волн S. В К’ – системе отсчёта, связанной с источником, сигналы испускаются с частотой v0 (собственная частота). Найдём частоту v, с которой воспринимаются эти сигналы приёмником.

Промежуток времени между двумя сигналами в К’–системе, связанной с источником, равен T=1/v0 . Поскольку источник движется со скоростью v, то соответствующий промежуток времени в К-системе, согласно «эффекту замедления хода движущихся часов», будет больше, а именно   . (23) Расстояние между соседними импульсами в К-системе .  (24)Поэтому восприним-я приемником частота=. (25) Полученная формула соответствует продольному эффекту Доплера. Имеется ещё поперечный эффект ,   (26) но мы его выводить не будем.


v-orientirovochnie-sroki-i-etapi-resheniya-koncepci-yafederalnoj-celevoj-programmi-razvitie-vnutrennego-i-vezdnogo.html
v-oskolkah-tumana-stranica-2.html
v-oskolkah-tumana-stranica-7.html
v-osnovaniya-dlya-zaderzhaniya-zaderzhanie-i-deportaciya-mezhdunarodnaya-konferenciya-mukachevo-ukraina-7-iyunya-2004-g.html
v-osnove-kommunisticheskoj-nravstvennosti-lezhit-borba-za-uskorenie-i-zavershenie-kommunizma.html
v-osnovnie-meropriyatiya-rukovoditelej-centralnih-ispolnitelnih-organov-zasedanie-pravitelstva-moskovskoj-oblasti.html
  • turn.largereferat.info/pnn-ou-badarlamasi-sillabus-pn-ataui-aza-hali-auiz-debiet.html
  • obrazovanie.largereferat.info/prikaz-ot-2010-g-rassmotreno-na-zasedanii-pedagogicheskogo-soveta.html
  • desk.largereferat.info/p-g-shedrovickij-vvedenie-v-sintaksis-i-semantiku-graficheskogo-yazika-smd-podhoda-shestoj-semestr-lekciya-33-v-obshem-cikle.html
  • doklad.largereferat.info/v-f-ovchinnikova-i-g-ovchinnikovoj-a-k-kovaldzhi-sostaviteli-i-redaktori-virazhayut-ogromnuyu-priznatelnost-vsem-kto-pomog-izdaniyu-etogo-sbornika.html
  • report.largereferat.info/kich-ukituchi-sze-beln-bashlanip-kit-ti-nilrne-bjrm-beln-kotlap-kiskacha-sijnif-tormishi-ukuchilar-turinda-sjli.html
  • notebook.largereferat.info/istoriko-arhivnij-voenno-memorialnij-centr-stranica-44.html
  • shpargalka.largereferat.info/vkoridore-bilo-neprivichno-pusto-tishina-alik-udivlenno-pokrutil-golovoj-i-rinulsya-na-tretij-etazh-k-zhenke-stranica-2.html
  • student.largereferat.info/12-zadachi-struktura-i-etapi-vipolneniya-raboti-uchebnoe-posobie-2-e-izdanie-ispravlennoe-i-dopolnennoe.html
  • composition.largereferat.info/pedagogicheskaya-praktika-1-sushnost-graficheskogo-obrazovaniya-i-ego-mesto-v-sovremennom-mire-2-celi-i-zadachi-praktiki.html
  • shpora.largereferat.info/zakon-ukraini-ob-obshegosudarstvennoj-programme-reformirovaniya-i-razvitiya-zhilishno-kommunalnogo-hozyajstva-na-2004-2010-godi-1869-v-ot-24.html
  • portfolio.largereferat.info/osnovnie-ponyatiya-i-opredeleniya-nominalnij-razmer-predelnie-razmeri-predelnie.html
  • reading.largereferat.info/kreditnij-risk-otchet-soveta-direktorov-nablyudatelnogo-soveta-banka-o-rezultatah-razvitiya-banka-po-prioritetnim.html
  • notebook.largereferat.info/hudozhestvennoe-pletenie-iz-lozi-stranica-3.html
  • kontrolnaya.largereferat.info/rabochaya-programma-disciplini-ekonomika-dorozhnogo-hozyajstva.html
  • books.largereferat.info/chast-tretya-mir-shahmatnaya-doska-yavleniya-etogo-mira-figuri-tak-nazivaemie-zakoni-prirodi-pravila-igri-igrok.html
  • predmet.largereferat.info/referat-po-predmetu-istoriya-otechestva-tema-soslovnaya-monarhiya-v-rossii-ee-socialno-politicheskaya-i-ekonomicheskaya-osnovi-xvi-xviivv.html
  • zanyatie.largereferat.info/pushkinskoe-v-lirike-nekrasova-i-dobrolyubova.html
  • tasks.largereferat.info/21kratkij-obzor-normativnih-pravovih-aktov-reguliruyushih-predostavlenie-zemelnih-uchastkov-dlya-stroitelstva-na-urovne-rossijskoj-federacii-i-rassmatrivaemih-regionov.html
  • thescience.largereferat.info/i-tihookeanci-skazali-svoe-slovo-kuznecov-n-g-kursom-k-pobede.html
  • apprentice.largereferat.info/zashita-prav-potrebitelej-3.html
  • credit.largereferat.info/otchet-po-rezultatam-samoobsledovaniya-kafedri-nadezhnost-i-remont-mashin-stranica-4.html
  • report.largereferat.info/igra-na-porazhenie-v-kazani-projdet-konferenciya-sportivnoe-nasledie-universiadi-2013-8-k-450-letiyu-osnovaniya.html
  • exchangerate.largereferat.info/evolyuciya-i-obrazovanie-vselennoj-i-galaktiki.html
  • write.largereferat.info/gajmorit-frontit-semenova-nadezhda-kremnij-element-zhizni.html
  • student.largereferat.info/10-00-17-00-zal-vega-konferenciya-dlya-specialistov-predpriyatij-industrii-krasoti-i-zdorovya-rostov-intellect-beauty-sekciya-master-massazhnih-tehnologij.html
  • university.largereferat.info/glava-9-hronicheskie-zabolevaniya-voprosi-bezopasnosti-i-sposobi-primeneniya-efirnih-masel.html
  • grade.largereferat.info/mirskoe-zloiz-pisma-sbornik-statej-svyashennika-g-petrova-izdanie-ukrainskoj-pravoslavnoj-cerkvi-kiev-1991-g.html
  • letter.largereferat.info/neformalnie-molodezhnie-obedineniya-v-usloviyah-socialnoj-transformacii-sovremennogo-rossijskogo-obshestva-22-00-04-socialnaya-struktura-socialnie-instituti-i-processi.html
  • uchit.largereferat.info/tehnicheskoe-zadanie-usloviya-ispolneniya-kontrakta-zayavka-na-uchastie-v-aukcione-pervaya-chast-vtoraya-chast-zayavki-stranica-2.html
  • tetrad.largereferat.info/uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-genetika-uchebno-metodicheskij-kompleks-sostavitel-k-b-n.html
  • obrazovanie.largereferat.info/pritoka-deneg-zhdat-ne-stoit-nezavisimaya-gazeta-samedova-evlaliya-tihomirova-elena-26042005-85-str-3.html
  • turn.largereferat.info/otchet-glavi-municipalnogo-obrazovaniya-villozskoe-selskoe-poselenie-o-prodelannoj-rabote-v-2011-godu.html
  • credit.largereferat.info/plan-velikobritaniya-vo-vtoroj-mirovoj-vojne-masshtabi-i-periodizaciya-vojni.html
  • kolledzh.largereferat.info/62-rezhim-raboti-shkoli-uchebnij-plan-rezhim-obucheniya-s-10-kadrovoe-obespechenie-obrazovatelnogo-processa-.html
  • textbook.largereferat.info/guidelines-on-the-prevention-diagnosis-stranica-10.html
  • © LargeReferat.info
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.